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【証明】半正定値行列のトレースの非負性と性質

はじめに

本記事では,以下の二つの命題に対する証明について述べる:

  • 半正定値行列のトレースは非負である.
  • 半正定値行列のトレースが $0$ であるならば,その行列は零行列である.

予備知識としては簡単な線型代数の基礎程度である.

半正定値行列のトレースの非負性

命題 正方行列 $A\in\R^{n\times n}$ を半正定値行列,すなわち,任意のベクトル $d\in \mathbb{R}^n$ に対して: $$ \begin{align} \left< d,\, Ad \right> = d^\top A d \geqq 0 \end{align} $$ が成り立つとする*1.このとき,行列 $A$ のトレースは非負である,すなわち, $$ \begin{align} \mathrm{tr} (A) = \sum_{i=1} ^{n} A_{ii} \geqq 0 \end{align} $$ が成り立つ.

証明

証明 行列のトレースの性質より,$A$ の固有値を $\lambda_1,\,\lambda_2,\dots,\lambda_n$ とすると, $$ \begin{align} \mathrm{tr} (A) = \sum_{i=1} ^{n} \lambda_i \end{align} $$ が成り立つ*2。また,行列 $A$ は半正定値であるので,すべての固有値は非負である*3。したがって,$\mathrm{tr}(A) \geqq 0$である.

半正定値行列のトレースに関する性質

命題 半正定値行列 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ のトレースが $0$ とする.このとき,行列 $A$ は零行列である.

証明

証明 行列 $A$ は半正定値行列なので,$A = B^\top B$ を満たすような行列 $B \in \mathbb{R}^{n\times m}$ が存在する*4.よって, $$ \begin{align} \mathrm{tr} (A) = \mathrm{tr} (B^\top B) \end{align} $$ が自然に成り立つ.命題の条件より,$\mathrm{tr}(A)=0$ なので $\mathrm{tr} (B^\top B) = 0$ である. さて,$n$ 次正方行列 $B^\top B$ の対角成分(第 $(i,i)$ 成分)は次のように与えられる: $$ \begin{align} (B^\top B)_{ii} = B_{i1} ^2 + B_{i2} ^2 + \dots + B_{in} ^2 \end{align} $$ したがって,$\mathrm{tr} (B^\top B)$ は次のように表すことができる: $$ \begin{align} \mathrm{tr} (B^\top B) &= \sum_{i=1} ^{n} (B^\top B)_{ii} \\\\ &= \sum_{i=1} ^{n} \sum_{j=1} ^{n} B_{ij}^2 \end{align} $$ 上式と $\mathrm{tr} (B^\top B) = 0$ を合わせて,$B_{ij} = 0$ を得る.したがって,$B$ は零行列である.いま,$A=B^\top B$ であるので $A$ も零行列である.

おわりに

半正定値行列に関する性質について扱った.半正定値行列は数理最適化の分野で頻出する*5ので,その性質について熟知しておくと何かと便利である.

*1:このような二次の項のみからなる多項式のことを「二次形式」という.

*2:証明は,高校数学の美しい物語を参照されたい.

*3:半正定値行列 $A$ の二次形式 $\left< d,\, Ad \right>$ が非負であることと,半正定値行列 $A$ の固有値が非負であることは同値な条件である.これに関しても、高校数学の美しい物語に証明が載っている.

*4:これは決して自明ではない.理系アラカルトに証明が載っているので参照されたい.

*5:例えば,制御の分野などの諸問題を定式化する上で半正定値行列を変数とした最適化問題は重要であり,ソルバーで効率的に解くことができる.