はじめに
本記事では,以下の二つの命題に対する証明について述べる:
- 半正定値行列のトレースは非負である.
- 半正定値行列のトレースが $0$ であるならば,その行列は零行列である.
予備知識としては簡単な線型代数の基礎程度である.
半正定値行列のトレースの非負性
命題
正方行列 $A\in\R^{n\times n}$ を半正定値行列,すなわち,任意のベクトル $d\in \mathbb{R}^n$ に対して:
$$
\begin{align}
\left< d,\, Ad \right> = d^\top A d \geqq 0
\end{align}
$$
が成り立つとする*1.このとき,行列 $A$ のトレースは非負である,すなわち,
$$
\begin{align}
\mathrm{tr} (A) = \sum_{i=1} ^{n} A_{ii} \geqq 0
\end{align}
$$
が成り立つ.
証明
証明
行列のトレースの性質より,$A$ の固有値を $\lambda_1,\,\lambda_2,\dots,\lambda_n$ とすると,
$$
\begin{align}
\mathrm{tr} (A) = \sum_{i=1} ^{n} \lambda_i
\end{align}
$$
が成り立つ*2。また,行列 $A$ は半正定値であるので,すべての固有値は非負である*3。したがって,$\mathrm{tr}(A) \geqq 0$である.
半正定値行列のトレースに関する性質
命題
半正定値行列 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ のトレースが $0$ とする.このとき,行列 $A$ は零行列である.
証明
証明
行列 $A$ は半正定値行列なので,$A = B^\top B$ を満たすような行列 $B \in \mathbb{R}^{n\times m}$ が存在する*4.よって,
$$
\begin{align}
\mathrm{tr} (A) = \mathrm{tr} (B^\top B)
\end{align}
$$
が自然に成り立つ.命題の条件より,$\mathrm{tr}(A)=0$ なので $\mathrm{tr} (B^\top B) = 0$ である.
さて,$n$ 次正方行列 $B^\top B$ の対角成分(第 $(i,i)$ 成分)は次のように与えられる:
$$
\begin{align}
(B^\top B)_{ii} = B_{i1} ^2 + B_{i2} ^2 + \dots + B_{in} ^2
\end{align}
$$
したがって,$\mathrm{tr} (B^\top B)$ は次のように表すことができる:
$$
\begin{align}
\mathrm{tr} (B^\top B) &= \sum_{i=1} ^{n} (B^\top B)_{ii} \\\\
&= \sum_{i=1} ^{n} \sum_{j=1} ^{n} B_{ij}^2
\end{align}
$$
上式と $\mathrm{tr} (B^\top B) = 0$ を合わせて,$B_{ij} = 0$ を得る.したがって,$B$ は零行列である.いま,$A=B^\top B$ であるので $A$ も零行列である.
おわりに
半正定値行列に関する性質について扱った.半正定値行列は数理最適化の分野で頻出する*5ので,その性質について熟知しておくと何かと便利である.