冷めたコーヒー

Weniger, aber besser

$\|\mathbf{x}\mathbf{x}^\top\|_F$ の導出

tl;dr

  • $\mathbf{x}\mathbf{x}^\top$ のフロベニウスノルム(Frobenius norm)を導く
  • 体 $K$ として,$K=\mathbb{R}^{m\times n}$ を考える

フロベニウスノルム

行列 $\mathbf{A}\in\mathbb{R}^{m\times n}$ に対して,その全成分の二乗和に対してルートをとったものをフロベニウスノルムといい,$\|\mathbf{A}\|_F$ で表す.

また,次に述べるように $\|\mathbf{A}\|_F$ はトレースを用いて次のように表すことができる:

$$ \|\mathbf{A}\|_F = \sqrt{\mathrm{tr}(\mathbf{A}^\top\mathbf{A})}. $$

証明は 行列のフロベニウスノルムとその性質 を参照 こちら に証明を記載しました.

導出

\begin{align} \|\mathbf{xx}^\top\|_F &= \sqrt{\mathrm{tr}((\mathbf{xx}^\top)^\top\mathbf{xx}^\top)} \\ &= \sqrt{\mathrm{tr}(\mathbf{x}\mathbf{x}^\top\mathbf{xx}^\top)} \\ &= \sqrt{\|\mathbf{x}\|^2_2\cdot\mathrm{tr}(\mathbf{x}\mathbf{x}^\top)} \\ &= \sqrt{\|\mathbf{x}\|^2_2\cdot \|\mathbf{x}\|^2_2} \\ &= \|\mathbf{x}\|^2_2. \end{align}