フロベニウスノルム
行列 $\mathbf{A}\in\mathbb{R}^{m\times n}$ に対して，その全成分の二乗和に対してルートをとったものをフロベニウスノルムといい，$\|\mathbf{A}\|_F$ で表す．
また，次に述べるように $\|\mathbf{A}\|_F$ はトレースを用いて次のように表すことができる：
$$ \|\mathbf{A}\|_F = \sqrt{\mathrm{tr}(\mathbf{A}^\top\mathbf{A})}. $$
証明
\begin{align} \|\mathbf{A}\|^2_F &\underset{\text{(1)}}{=} \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}^2 \\ &\underset{\text{(2)}}{=} \sum_{j=1}^{n}\|\mathbf{a}_j\|^2_2 \\ &\underset{\text{(3)}}{=} \sum_{j=1}^{n}\left<\mathbf{a}_j,\mathbf{a}_j\right> \\ &\underset{\text{(4)}}{=}\sum_{j=1}^{n}(A^\top A)_{jj} \\ &\underset{\text{(5)}}{=} \mathrm{tr}(A^\top A). \end{align}
